4. К окружности в ее точке А проведена касательная. Через центр окружности точку О проведен диаметр ВС. Будут ли равны хорды АВ и АС? Почему?

Да, хорды AB и AC будут равны.

Это происходит потому, что если в окружности проведен диаметр, то любой угол, образованный хордой и касательной, будет прямым. В данном случае, хорды AB и AC образуют такие углы соответственно с касательной и диаметром ВС, и они равны 90 градусов. Поэтому треугольники AOB и AOC являются прямоугольными, и AB и AC будут равными.