Найдите предел
Привет! Давай вместе разберемся с этим пределом.
Нам нужно найти предел следующего выражения при \( n \) стремящемся к бесконечности: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[7]{7n+7} - \sqrt[8]{18n-16}}{\sqrt{n}} \]
Шаг 1: Упростим корни
Посмотрим отдельно на числитель:
- \(\sqrt[7]{7n+7}\) для больших \( n\) приблизительно равно \((7n)^{1/7}\).
- \(\sqrt[8]{18n-16}\) для больших \( n\) приблизительно равно \((18n)^{1/8}\).
Шаг 2: Проведем нормализацию
В частном случае, при \( n \to \infty\), выражение становится: \[ \frac{(7n)^{1/7} - (18n)^{1/8}}{\sqrt{n}} \]
Шаг 3: Применим асимптотическое поведение функций
Для того чтобы понять поведение этих выражений при больших значениях \(n\), запишем:
- \((7n)^{1/7} \approx 7^{1/7}n^{1/7}\)
- \((18n)^{1/8} \approx 18^{1/8}n^{1/8}\)
Теперь у нас: \[ \frac{7^{1/7}n^{1/7} - 18^{1/8}n^{1/8}}{\sqrt{n}} \]
Шаг 4: Разделим на максимальную степень
Чтобы упростить выражение дальше, разделим числитель и знаменатель на \( n^{1/8}\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^{1/7}n^{1/7-1/8} - 18^{1/8}}{n^{1/2 - 1/8}} \]
Заметим, что \(n^{1/7 - 1/8}\) и \( n^{1/2 - 1/8}\) имеют следующие значения:
- \( 1/7 - 1/8 = 8/56 - 7/56 = 1/56 \)
- \( 1/2 - 1/8 = 4/8 - 1/8 = 3/8 \)
Поэтому у нас: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{7^{1/7}n^{1/56} - 18^{1/8}}{n^{3/8}} \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{7^{1/7}}{n^{3/8 - 1/56}} = 0 \]
Так как \( n^{3/8 - 1/56} \) стремится к бесконечности при \( n \to \infty \).
Итог
Значит, предел выражения равен 0.
Если останутся вопросы, обязательно пиши!
