Найдите предел

Привет! Давай вместе решим эту задачу. Нам нужно найти предел следующей функции при \( x \) стремящемся к \( 0 \):

\[ A = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2(\sin(-3x) - \tg(-3x))}{(x-3)^2 x^3} + \frac{3x}{2x + 4} \right] \]

Разберемся по шагам.

Шаг 1: Рассмотрим первую часть предела

\[ \frac{2(\sin(-3x) - \tg(-3x))}{(x-3)^2 x^3} \]

Учитывая, что \(\sin(-3x) = -\sin(3x)\) и \(\tg(-3x) = -\tg(3x)\), это перепишется в виде: \[ \frac{2(-\sin(3x) + \tg(3x))}{(x-3)^2 x^3} = -\frac{2(\sin(3x) - \tg(3x))}{(x-3)^2 x^3} \]

Шаг 2: Упрощение тригонометрических функций

Для малых значений \( x \) можно использовать приближения до первого порядка: \[ \sin(3x) \approx 3x \] \[ \tg(3x) \approx 3x \]

Тогда: \[ \sin(3x) - \tg(3x) \approx 3x - 3x = 0 \]

Шаг 3: Значит вся дробь стремится к нулю

\[ -\frac{2(0)}{(x-3)^2 x^3} = 0 \]

Шаг 4: Рассмотрим вторую часть предела

\[ \frac{3x}{2x + 4} \]

При \( x \to 0 \): \[ \frac{3x}{2x + 4} \approx \frac{3 \cdot 0}{2 \cdot 0 + 4} = 0 \]

Окончательный результат

Так как обе части предела равны нулю: \[ A = 0 + 0 = 0 \]

Итак, предел функции: \[ \lim_{x \to 0} \left[ \frac{2(\sin(-3x) - \tg(-3x))}{(x-3)^2 x^3} + \frac{3x}{2x + 4} \right] = 0 \]

Надеюсь, это помогло! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать!