Найдите главную часть вида Q(x)=c⋅xm бесконечно большой функции R(x)=(14+x)17⋅(e1x−15−1)5⋅ln x3−9x3+19 при x→+∞ .
Привет! Давай вместе разберёмся с этой задачей.
Тебе нужно найти главную часть \(Q(x) = c \cdot x^m\) бесконечно большой функции \(R(x)\) при \(x \to +\infty\).
\(R(x) = (14 + x)^{17} \left( \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} - 1} \right)^{5} \ln \left( \frac{x^3 - 9}{x^3 + 19} \right)\)
Шаг 1: Рассмотрим каждую часть функции \(R(x)\) отдельно при \(x \to +\infty\):
\((14 + x)^{17}\) при \(x \to +\infty\) ведет себя как \(x^{17}\), так как \(14\) по сравнению с \(x\) - незначительна.
\(\left( \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} - 1} \right)^{5}\) при \(x \to +\infty\): \[ e^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x} \] Тогда: \[ e^{\frac{1}{x}} - 1 \approx \frac{1}{x} \] \[ \left( \frac{1}{e^{\frac{1}{x}} - 1} \right)^{5} \approx \left( \frac{1}{\frac{1}{x}} \right)^{5} = x^5 \]
\(\ln \left( \frac{x^3 - 9}{x^3 + 19} \right)\) при \(x \to +\infty\): \[ \frac{x^3 - 9}{x^3 + 19} \approx 1 \] \[ \ln \left( 1 \right) = 0 \] Эта часть стремится к нулю, и её можно не учитывать при оценке главной части.
Шаг 2: Соединяем найденные доминирующие множители: \[ R(x) \approx x^{17} \cdot x^{5} \] \[ R(x) \approx x^{22} \]
Шаг 3: Следовательно, главной частью функции \(R(x)\) при \(x \to +\infty\) будет \(Q(x) = x^{22}\).
Ответ: Главная часть функции \(R(x)\) вида \(Q(x)\) при \(x \to +\infty\) есть \(x^{22}\).
