Для некоторой функции f:X⊂R→Y⊂R известно, что f(8x+3)=256x2−80x−3. Докажите, что функция f(x) может быть задана в виде f(x)=Ax2+Bx+D .

Для доказательства того, что функция f(x) может быть задана в виде f(x)=Ax2+Bx+D, мы можем воспользоваться данной информацией о f(8x+3) и выразить это в терминах функции f(x).

Пусть у нас дано f(8x+3)=256x2−80x−3. Чтобы привести это к виду f(x)=Ax2+Bx+D, мы должны провести замену переменной.

Пусть y = 8x + 3. Заменяя x в f(x) на (y-3)/8, мы получаем: f(x) = 256((y-3)/8)^2 - 80((y-3)/8) - 3 f(x) = 256(y^2/64 - 3y/32 + 9/64) - 10y + 30 - 3 f(x) = 4y^2 - 8y - 192y + 576 - 10y + 33 f(x) = 4y^2 - 200y + 609.

Теперь заменяем y на 8x + 3: f(x) = 4(8x + 3)^2 - 200(8x + 3) + 609 f(x) = 4(64x^2 + 48x + 9) - 1600x - 600 + 609 f(x) = 256x^2 + 192x + 36 - 1600x + 9.

После сокращения получаем: f(x) = 256x^2 - 1408x + 45.

Сравнивая это с формулой f(x)=Ax2+Bx+D, где A=256, B=-1408 и D=45, мы видим, что функция f(x) может быть задана в виде f(x)=Ax^2+Bx+D.