Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции

Привет! Давай разберёмся с задачей на нахождение точек разрыва функции \( f(x) \).

1. Сначала давай выпишем функцию: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x-3}{x^2-4}, & \text{если } x < 3; \\ \frac{3 - e^x}{x^2 - 64}, & \text{если } x > 3 \end{cases} \]

2. Посмотрим, существуют ли точки разрыва в каждой из частей. Для этого нужно найти, где знаменатели обращаются в ноль.

   • Для первого случая \(\frac{x-3}{x^2-4}\), знаменатель \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\). Значит, при \(x = 2\) и \(x = -2\) возможен разрыв.
   • Для второго случая \(\frac{3 - e^x}{x^2 - 64}\), знаменатель \(x^2 - 64 = (x-8)(x+8)\). Значит, при \(x = 8\) и \(x = -8\) возможен разрыв.

3. Проверим точку \(x = 3\), так как тут происходит переход от одной функции к другой.

   • Найдём предел слева при \(x \rightarrow 3^- \): \[ \lim_{x \to 3^-} \frac{x-3}{x^2-4} = \frac{3-3}{3^2-4} = 0 \]
   • Найдём предел справа при \(x \rightarrow 3^+ \): \[ \lim_{x \to 3^+} \frac{3 - e^x}{x^2 - 64} = \frac{3 - e^3}{3^2 - 64} = \frac{3 - e^3}{-55} \]
   • Поскольку пределы слева и справа неравны, в точке \(x = 3\) есть разрыв I рода.

4. Теперь охарактеризуем точки разрыва:

   • \(x = 2\): \(f(x)\) стремится к бесконечности, разрыв I рода.
   • \(x = -2\): \(f(x)\) стремится к бесконечности, разрыв I рода.
   • \(x = 8\): \(f(x)\) стремится к бесконечности, разрыв I рода.
   • \(x = -8\): \(f(x)\) стремится к бесконечности, разрыв I рода.
   • \(x = 3\): пределы слева и справа не совпадают, разрыв I рода.

Итак, все точки разрыва функции: \( x = -8 \), \( x = -2 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \), \( x = 8 \). Все они являются разрывами I рода. Если будут вопросы или что-то непонятно, смело спрашивай!