.

Привет! Давай разберемся с задачами из вашего задания.

1. Доказать, что функции f(x) и φ(x) при x→0 являются бесконечно малыми одного порядка малости.

1.8. f(x) = sin x + sin 5x, φ(x) = 2x.

Чтобы показать, что функции \( f(x) \) и \( φ(x) \) являются бесконечно малыми одного порядка малости при \( x \rightarrow 0 \), нам нужно показать, что отношение этих функций стремится к конечному числу, при \( x \rightarrow 0 \).

1. Разложим функции в ряд Тейлора около \( x = 0 \):

   • \( sin x \approx x \)
   • \( sin 5x \approx 5x \)

2. Теперь подставим эти приближения в \( f(x) \):

   • \( f(x) = sin x + sin 5x \approx x + 5x = 6x \)
   • \( φ(x) = 2x \)

3. Найдем предел отношения \( \frac{f(x)}{φ(x)} \) при \( x \rightarrow 0 \):

   • \( \frac{f(x)}{φ(x)} = \frac{6x}{2x} = 3 \)

Так как предел равен конечному числу (3), то функции \( f(x) \) и \( φ(x) \) являются бесконечно малыми одного порядка малости при \( x \rightarrow 0 \).

2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.

2.8. \( \lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x}{sin 2x} \)

1. При разложении в ряды Тейлора около нуля, функция \( \sin 2x \approx 2x \).
2. Подставляем это в предел:
   • \( \lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x}{sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + 3x}{2x} \)
3. Для \( x \rightarrow 0 \):
   • \( \frac{1 + 3x}{2x} \approx \frac{1}{2x} + \frac{3x}{2x} = \frac{1}{2x} + \frac{3}{2} \rightarrow \infty \).

Так что предел не существует или стремится к бесконечности.

3. Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.

3.8. \( f(x) = \begin{cases} 3x^2, & x \leq -1 \\ 4 - x, & -1 < x < 3 \\ \sqrt{x - 2}, & x \geq 3 \\ \end{cases} \)

Чтобы исследовать непрерывность:

1. Проверим непрерывность в точках \( x = -1 \) и \( x = 3 \).

По определению непрерывности:

• \( f(-1) = 3(-1)^2 = 3 \)

• \( \lim_{x \to -1^-} f(x) = 3(-1)^2 = 3 \)

• \( \lim_{x \to -1^+} f(x) = 4 - (-1) = 5 \) Не непрерывна в \( x = -1 \).

• \( f(3) = \sqrt{3 - 2} = \sqrt{1} = 1 \)

• \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 4 - 3 = 1 \)

• \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \sqrt{3 - 2} = 1 \) Непрерывна в \( x = 3 \).

Теперь ты можешь попробовать построить график. функции \( f(x) \) на разных интервалах и объединить их.

4. Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.

4.8. \( f(x) = \frac{5}{1 - (x - 4)} - \frac{12}{7} \)

1. Исследуем на непрерывность в точке \( x = 4 \):
   • Выражаем \( f(x) \):
     • \( f(4) = \frac{5}{1 - (4 - 4)} - \frac{12}{7} = \frac{5}{1} - \frac{12}{7} = 5 - \frac{12}{7} = \frac{35}{7} - \frac{12}{7} = \frac{23}{7} \)
   • Проверим пределы:
     • \( \lim_{x \to 4} f(x) = \frac{5}{1 - (x - 4)} - \frac{12}{7} = 5 - \frac{12}{7} \rightarrow \frac{23}{7} \)

Функция непрерывна в точке \( x = 4 \).

Пиши, если есть вопросы или нужно дополнительное пояснение!