исследовать ряд на сходимость \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{\sqrt{n}+2}In\left(1+\frac{1}{n^3}\right)

Для исследования сходимости данного ряда необходимо применить признак сравнения для рядов.

Дано: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{\sqrt{n}+2}In\left(1+\frac{1}{n^3}\right)

Сначала рассмотрим отдельные части данного выражения. Учитывая, что Логарифмический ряд In\left(1+\frac{1}{n^3}\right) является сходящимся, а \frac{2n-1}{\sqrt{n}+2} ограниченная последовательность, можно применить признак сравнения.

Для этого представим \frac{2n-1}{\sqrt{n}+2} в виде \frac{2n}{\sqrt{n}+2} - \frac{1}{\sqrt{n}+2}. После упрощения неравенства \frac{2n-1}{\sqrt{n}+2} < \frac{2n}{\sqrt{n}+2} можно заметить, что это отношение ограничено сверху квадратным корнем из n. Таким образом, ряд сходится по признаку сравнения с сходящимся рядом.

Таким образом, исследованный ряд сходится.