Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках

Привет! Давай разберёмся с задачей вместе.

Нам нужно исследовать функцию \( f(x) = \sqrt{x - 1} - 2 \) на непрерывность в точках \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 4 \).

Итак, для проверки непрерывности функции в точке \( x_0 \) мы используем три условия:

1. Функция определена в точке \( x_0 \).
2. Существует предел функции в точке \( x_0 \).
3. Значение функции в точке \( x_0 \) равно пределу функции в этой точке.

Начнем с \( x_1 = 3 \):

1. Определим функцию в точке \( x = 3 \): \( f(3) = \sqrt{3 - 1} - 2 = \sqrt{2} - 2 \).

2. Найдём предел функции при \( x \) стремящемся к 3: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (\sqrt{x - 1} - 2) = \sqrt{3 - 1} - 2 = \sqrt{2} - 2 \].

3. Сравним значение функции и предел: \( f(3) = \sqrt{2} - 2 \), и \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \sqrt{2} - 2 \].

Все условия выполнены, значит, функция непрерывна в точке \( x_1 = 3 \).

Теперь проверим \( x_2 = 4 \):

1. Определим функцию в точке \( x = 4 \): \( f(4) = \sqrt{4 - 1} - 2 = \sqrt{3} - 2 \).

2. Найдём предел функции при \( x \) стремящемся к 4: \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \lim_{x \to 4} (\sqrt{x - 1} - 2) = \sqrt{4 - 1} - 2 = \sqrt{3} - 2 \].

3. Сравним значение функции и предел: \( f(4) = \sqrt{3} - 2 \), и \[ \lim_{x \to 4} f(x) = \sqrt{3} - 2 \].

Все условия выполнены, значит, функция непрерывна в точке \( x_2 = 4 \).

Итак, функция \( f(x) = \sqrt{x - 1} - 2 \) непрерывна в точках \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 4 \).