Два однородных диска центры которых соединены упругой пружиной одеты на ось пронизывающую пружину и проходящую через центры дисков перпендикулярно плоскостям дисков диски могут поворачиваться по этой оси без трения определить период с которым будут колебаться диски если повернуть их на малые углы в противоположных направлениях закручивая при этом пружину и затем отпустить моменты инерции дисков 5 и 15 крутильная плотность пружины 20•4,0•м/рад

Для определения периода колебаний дисков в системе с двумя однородными дисками, упругой пружиной и осью пронизывающей пружину, можно использовать законы сохранения энергии и момента импульса.

Для начала, определим момент инерции системы. По закону сохранения момента импульса:

\[I_1 \omega_1 + I_2 \omega_2 = I_{\text{сум}} \Omega,\]

где:

• \(I_1 = 5\) - момент инерции первого диска,
• \(I_2 = 15\) - момент инерции второго диска,
• \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - угловые скорости первого и второго дисков соответственно,
• \(I_{\text{сум}}\) - момент инерции системы,
• \(\Omega\) - угловая скорость системы.

Так как это колебательное движение и диски движутся в противоположных направлениях, угловые скорости имеют противоположные знаки, то есть \(\omega_1 = -\omega_2\), и уравнение можно переписать в виде:

\[(I_1 - I_2) \omega_1 = I_{\text{сум}} \Omega.\]

Теперь найдем момент инерции системы \(I_{\text{сум}}\):

\[I_{\text{сум}} = I_1 + I_2 + I_{\text{пружины}},\]

где \(I_{\text{пружины}}\) - момент инерции пружины относительно оси вращения. По формуле момента инерции для пружины \(I = kL^2,\) где \(k\) - крутильная плотность пружины, \(L\) - длина оси пружины:

\[I_{\text{пружины}} = kL^2 = 20 \cdot 4.0 \cdot (2L)^2 = 640L^2.\]

Итак,

\[I_{\text{сум}} = 5 + 15 + 640L^2 = 20 + 640L^2.\]

Подставим это в уравнение сохрания момента импульса:

\[(I_1 - I_2) \omega_1 = (20 + 640L^2) \Omega,\]

\[10 \omega_1 = (20 + 640L^2) \Omega.\]

Теперь перейдем к закону сохранения энергии. Потенциальная энергия пружины, когда диски повернуты на углы \(\theta\) и \(-\theta\), равна:

\[U = \frac{1}{2} k (\theta_1^2 + \theta_2^2) = 10 (\theta_1^2 + \theta_2^2),\]

где \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы поворота дисков относительно положения равновесия.

Кинетическая энергия системы:

\[T = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 + \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2 = 5\omega_1^2 - 15\omega_1^2,\]

\[T = -10\omega_1^2.\]

Так как механическая энергия системы сохраняется, то \(T + U = \text{const}\), следовательно,

\[\frac{d}{dt}(T + U) = 0,\]

\[\frac{d}{dt}(-10\omega_1^2 + 10(\theta_1^2 + \theta_2^2)) = 0,\]

\[-20\omega_1\dot{\omega_1} + 20(\theta_1\dot{\theta_1} + \theta_2\dot{\theta_2}) = 0,\]

где \(\dot{\omega_1} = \alpha\), \(\dot{\theta_1} = \alpha\), \(\dot{\theta_2} = -\alpha\).

Из уравнения:

\[-20\omega_1\alpha + 20(\theta_1\alpha + \theta_2(-\alpha)) = 0,\]

\[-20\omega_1\alpha + 20 \theta_1\alpha - 20\theta_2\alpha = 0,\]

\[-20\omega_1\alpha + 20\theta_1\alpha + 20\theta_1\alpha = 0,\]

\[40\theta_1\alpha - 20\omega_1\alpha = 0,\]

\[2\theta_1 - \omega_1 = 0,\]

\[\omega_1 = 2\theta_1.\]

Подставим в выражение для момента импульса:

\[10(2\theta_1) = (20 + 640L^2) \Omega,\]

\[20\theta_1 = 20 + 640L^2 \Omega,\]

\[\theta_1 = 1 + 32L^2 \Omega.\]

Так как углы малы, можем сказать, что \(\theta_1 = \theta_2 = \theta\), а значит:

\[2\theta = 1 + 32L^2\Omega.\]

Теперь воспользуемся уравнением движения колебательной системы:

\[m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0,\]

где \(m\) - масса, а \(k\) - жесткость пружины.

Касательное ускорение точки \(x\):

\[a_t = L\frac{d\alpha}{dt},\]

где \(L\) - длина оси.

С учетом закона Хука, получим:

\[mL\frac{d^2\alpha}{dt^2} + 2Lk\alpha = 0,\]

\[mL\frac{d^2\alpha}{dt^2} + 2Lk\alpha = 0,\]

\[\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{2k}{m}\alpha = 0,\]

\[\frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{40}{m}\alpha = 0.\]

Отсюда видим, что \(\Omega = \frac{40}{m}\) и

\[\theta = 1 + 32L^2 \cdot \frac{40}{m}.\]

Таким образом, для определения периода колебаний нам необходимо знать массу \(m\) системы.