Даны координаты точек C ( 3 ; − 2 ; 1 ) , D ( − 1 ; 2 ; 1 ) , M ( 2 ; − 3 ; 3 ) , N ( − 1 ; 1 ; − 2 ) C (3;−2;1),D (−1;2;1),M (2;−3;3),N (−1;1;−2) . Найдите косинус угла между…
Даны координаты точек C ( 3 ; − 2 ; 1 ) , D ( − 1 ; 2 ; 1 ) , M ( 2 ; − 3 ; 3 ) , N ( − 1 ; 1 ; − 2 ) C (3;−2;1),D (−1;2;1),M (2;−3;3),N (−1;1;−2) . Найдите косинус угла между векторами C D ⃗ CD и M N ⃗ MN .
Для нахождения косинуса угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой скалярного произведения векторов и понятием модуля (длины) вектора.
Для начала найдем векторы \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{MN}\):
\(\overrightarrow{CD} = D - C = (-1 - 3, 2 - (-2), 1 - 1) = (-4, 4, 0)\)
\(\overrightarrow{MN} = N - M = (-1 - 2, 1 - (-3), -2 - 3) = (-3, 4, -5)\)
Затем найдем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{MN}\):
\(\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{MN} = (-4)(-3) + (4)(4) + (0)(-5) = 12 + 16 + 0 = 28\)
Далее найдем модули (длины) векторов \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{MN}\):
\(|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\)
\(|\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)
Наконец, находим косинус угла между векторами:
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{MN}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\overrightarrow{MN}|} = \frac{28}{4\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10}\)
Таким образом, косинус угла между векторами \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{MN}\) равен \(\frac{7}{10}\).
