A (1;−1;−4),B (−3;−1;0),C (−1;2;5),D (2;−3;1) . Найдите косинус угла между прямыми A B AB и C D CD

Для начала найдем векторы, задающие направления данных прямых. Вектор направления прямой AB будет равен разности координат векторов B и A:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}\]

А вектор направления прямой CD будет равен разности координат векторов D и C:

\[\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix}\]

Теперь найдем косинус угла \( \theta \) между этими векторами, используя формулу для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{\lVert \overrightarrow{AB} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{CD} \rVert} \]

Где \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \) обозначает скалярное произведение векторов, а \( \lVert \overrightarrow{AB} \rVert \) и \( \lVert \overrightarrow{CD} \rVert \) - их длины.

Вычислим сначала числитель этой формулы:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (-2)(3) + (0)(-5) + (4)(-4) = -6 + 0 - 16 = -22 \]

Теперь вычислим знаменатель - произведение длин векторов:

\[ \lVert \overrightarrow{AB} \rVert = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

\[ \lVert \overrightarrow{CD} \rVert = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь мы можем подставить полученные значения в формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{-22}{2\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{-22}{10\sqrt{10}} = -\frac{11}{5\sqrt{10}} \]

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и CD равен \( -\frac{11}{5\sqrt{10}} \).