A (1;−1;−4),B (−3;−1;0),C (−1;2;5),D (2;−3;1) . Найдите косинус угла между прямыми A B AB и C D CD

Для нахождения косинуса угла между прямыми нужно вычислить косинус угла между направляющими векторами этих прямых. Направляющие векторы прямых AB и CD можно найти как разность координат точек A и B, а также C и D соответственно.

Направляющий вектор AB: \( \vec{u} = \begin{pmatrix} -3 - 1 \\ -1 - (-1) \\ 0 - (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \)

Направляющий вектор CD: \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 - (-1) \\ -3 - 2 \\ 1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ -4 \end{pmatrix} \)

Теперь найдем косинус угла между этими направляющими векторами:

\( \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} \), где \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) - скалярное произведение векторов, а \( ||\vec{u}|| \) и \( ||\vec{v}|| \) - длины векторов.

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (-4)(3) + (0)(-5) + (4)(-4) = -12 - 16 = -28 \)

\( ||\vec{u}|| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} \)

\( ||\vec{v}|| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} \)

Подставляем все в формулу косинуса угла:

\( \cos \theta = \frac{-28}{\sqrt{32} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-28}{\sqrt{32 \cdot 50}} = \frac{-28}{\sqrt{1600}} = \frac{-28}{40} = -\frac{7}{10} \)

Таким образом, косинус угла между прямыми AB и CD равен -7/10.