9. Задано точки А(1;4;8) і В(-4;0;3). Під яким кутом відрізок АВ видно а початку координат

Для того чтобы найти кут між відрізком AB та початком координат, можна скористатися формулою для обчислення косинуса кута між векторами. Кут між двома векторами можна обчислити за допомогою наступної формули:

cos(θ) = (AB) • (OA) / ||AB|| * ||OA||,

де θ - шуканий кут, AB - вектор, який задається точками A(1;4;8) та B(-4;0;3), і OA - вектор, який йде від початку координат до точки A.

Давайте спочатку знайдемо вектори AB і OA:

AB = B - A = (-4 - 1; 0 - 4; 3 - 8) = (-5; -4; -5),

OA = A = (1; 4; 8).

Тепер обчислимо скалярний добуток векторів AB і OA:

(AB) • (OA) = (-5 * 1) + (-4 * 4) + (-5 * 8) = -5 - 16 - 40 = -61,

Далі розрахуємо довжини векторів AB і OA:

||AB|| = √((-5)^2 + (-4)^2 + (-5)^2) = √(25 + 16 + 25) = √66,

||OA|| = √(1^2 + 4^2 + 8^2) = √(1 + 16 + 64) = √81 = 9.

Замінимо ці значення у формулу для косинуса кута:

cos(θ) = -61 / (9 * √66),

Отже, кут між відрізком AB та початком координат можна знайти, використовуючи цей косинус.