9. Составьте уравнение касательной к графику функции y = x + 1/(x ^ 4) в точке с абсциссой x_{0} = I

Для нахождения уравнения касательной к графику функции y = x + 1/(x ^ 4) в точке с абсциссой x_{0} = 1, нам сначала нужно найти производную этой функции.

y = x + 1/(x ^ 4).

Производная функции по переменной x будет равна сумме производных ее участков. Давайте найдем производные каждого участка:

Для первого участка: производная x по x равна 1.

Для второго участка: производная 1/(x ^ 4) по x будет -4/(x^5) с помощью правила дифференцирования степенной функции.

Итак, производная функции y = x + 1/(x ^ 4) по x будет равна 1 - 4/(x^5).

Теперь, чтобы найти уравнение касательной к графику в точке x_{0} = 1, подставим x = 1 в выражение для производной:

y'(1) = 1 - 4/(1^5) = 1 - 4 = -3.

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x = 1 равен -3. Теперь, чтобы найти значение y в точке x = 1, подставим x = 1 в исходную функцию:

y(1) = 1 + 1/(1^4) = 1 + 1 = 2.

Итак, у нас есть координаты точки (1, 2) и значение углового коэффициента -3. Теперь мы можем записать уравнение касательной в точке (1, 2):

y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0).

Подставляем известные значения:

y - 2 = -3(x - 1).

Упростим это уравнение:

y - 2 = -3x + 3,

y = -3x + 5.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x + 1/(x ^ 4) в точке x = 1 будет y = -3x + 5.