При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания…
При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Когда тест оказывается положительным, для выявления вероятности наличия заболевания у пациента, используется теорема Байеса. Давайте рассмотрим данные:
Пусть:
- P(A) - вероятность заболевания
- P(¬A) - вероятность отсутствия заболевания
- P(B|A) - вероятность положительного теста при наличии заболевания (0.86)
- P(B|¬A) - вероятность положительного теста при отсутствии заболевания (0.06)
- P(B) - вероятность положительного теста
Из условия известно, что P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A). Известно также, что тест оказался положительным (P(B) = 0.1).
Тогда применим теорему Байеса:
P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 0.86 * P(A) / 0.1,
P(A) = P(A|B) * P(B) / P(A|B) = 0.86 * P(A) / (0.86 * P(A) + 0.06 * (1 - P(A))).
Подставив значения, можем найти вероятность того, что пациент действительно имеет заболевание при положительном тесте.
