Наити площадь ограниченной линиями

Привет!

Рассмотрим данную задачу. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. y = -x^2 + x + 3
2. y = -x

Вот план действий:

1. Построим графики функций.
2. Найдем точки пересечения этих графиков.
3. Вычислим интегралы и найдем площадь.

1. Построим графики функций:

• График первой функции y = -x^2 + x + 3 — это парабола, направленная ветвями вниз.
• График второй функции y = -x — это прямая с отрицательным наклоном, проходящая через начало координат.

2. Найдём точки пересечения этих графиков, решив систему уравнений:

y = -x^2 + x + 3 y = -x

Приравниваем правые части: -x^2 + x + 3 = -x

Перенесем всё в одну сторону уравнения: -x^2 + x + 3 + x = 0 -x^2 + 2x + 3 = 0 Для решения этого квадратного уравнения используем дискриминант: D = b^2 - 4ac где a = -1, b = 2, c = 3.

D = 2^2 - 4 * (-1) * 3 D = 4 + 12 D = 16

Корни уравнения: x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-2 + 4) / (-2) = 1 x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-2 - 4) / (-2) = -3

Значит, точки пересечения графиков: x = 1 и x = -3.

3. Найдём интегралы для вычисления площади:

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x^2 + x + 3 и y = -x, можно получить по следующей формуле: Интеграл от x = -3 до x = 1 от разности функций: (-x^2 + x + 3) - (-x).

Посчитаем интеграл: ∫[-3, 1] ((-x^2 + x + 3) - (-x)) dx = ∫[-3, 1] (-x^2 + 2x + 3) dx

Теперь вычислим этот интеграл: ∫[-3, 1] (-x^2) dx + ∫[-3, 1] (2x) dx + ∫[-3, 1] (3) dx

Разбиваем каждый по отдельности:

1. ∫[-3, 1] (-x^2) dx = [-(x^3)/3] от -3 до 1
2. ∫[-3, 1] (2x) dx = [x^2] от -3 до 1
3. ∫[-3, 1] 3 dx = [3x] от -3 до 1

Подставляем пределы и суммируем результаты этих интегралов:

1. [-(1^3)/3 + (3^3)/3]
2. [1^2 - (-3)^2]
3. [31 - 3(-3)]

Посчитаем каждую часть:

1. [0 - (-27)/3] = 9
2. [1 - 9] = -8
3. [3 + 9] = 12

Суммируем части: 9 + (-8) + 12 = 13

Итак, площадь ограниченной фигуры равна 13.

Если остались вопросы, смело задавай!