наити площадь ограниченной линиями

Привет! Давай разберёмся с задачей. Нам нужно найти площадь, ограниченную линиями \( y = -x^2 + x + 3 \) и \( y = -x \).

1. Сначала выясним точки пересечения этих линий. Для этого приравняем уравнения: \[ -x^2 + x + 3 = -x \]

2. Перенесём все члены в одну сторону: \[ -x^2 + x + 3 + x = 0 \] \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \]

3. Найдём корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = -1 \), \( b = 2 \), \( c = 3 \).

4. Подставим значения: \[ D = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 \] \[ D = 4 + 12 = 16 \]

5. Теперь найдём корни с помощью формулы: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} \]

6. Посчитаем: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{-2} = -3 \] \[ x_2 = \frac{2 - 4}{-2} = 1 \]

7. Точки пересечения: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

8. Теперь найдём интеграл для вычисления площади между кривыми. Область ограничена от \( x = -3 \) до \( x = 1 \).

9. Интеграл разности функций: \[ \int_{-3}^1 [(-x) - (-x^2 + x + 3)] \, dx \] \[ \int_{-3}^1 [-x + x^2 - x - 3] \, dx \] \[ \int_{-3}^1 [-x^2 - 4] \, dx \]

10. Вычислим интеграл: \[ \int_{-3}^1 -x^2 \, dx - \int_{-3}^1 4 \, dx \] Первый интеграл: \[ - \int_{-3}^1 x^2 \, dx \] Второй интеграл: \[ - 4 \int_{-3}^1 1 \, dx \]

11. Интегрирование даёт: \[ -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-3}^1 - 4\left[x\right]_{-3}^1 \]

12. Подставим пределы: \[ -\left(\frac{1^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3}\right) - 4\left(1 - (-3)\right) \] \[ -\left(\frac{1}{3} - \frac{-27}{3}\right) - 4(4) \] \[ -\left(\frac{1}{3} + 9\right) - 16 \] \[ -\left(\frac{1}{3} + \frac{27}{3}\right) - 16 \] \[ -\left(\frac{28}{3}\right) - 16 \] \[ -\frac{28}{3} - 16 \] \[ -\frac{28}{3} - \frac{48}{3} \] \[ -\frac{76}{3} \] Знак минус там пропадает, так как площадь не может быть отрицательной: \[ \frac{76}{3} \approx 25 \frac{1}{3} \]

Таким образом, площадь, ограниченная линиями \( y = -x^2 + x + 3 \) и \( y = -x \), равна \( \frac{76}{3} \).