Наити интеграл

Привет! Давай рассмотрим твою задачу.

Нам нужно найти интеграл. Судя по всему, задача связана с нахождением площади поверхности, ограниченной кривыми \( y = -x^2 + x + 3 \) и \( y = -x \).

Для начала нужно найти точки пересечения этих кривых, решив систему уравнений: \[ -x^2 + x + 3 = -x \]

Просто переместим все влево: \[ -x^2 + x + 3 + x = 0 \] \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \]

Теперь можем найти корни этого уравнения, используя дискриминант (D): \[ D = b^2 - 4ac \] \[ D = 2^2 - 4(-1)(3) \] \[ D = 4 + 12 \] \[ D = 16 \]

Корни находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{-2} \] \[ x_{1} = -1 \] \[ x_{2} = 3 \]

Теперь, чтобы найти площадь, вычислим определённый интеграл от \( \left(-x^2 + x + 3\right) - \left(-x\right) \) на интервале от -1 до 3: \[ \int_{-1}^{3} \left(-x^2 + x + 3 + x \right) dx \] \[ \int_{-1}^{3} \left(-x^2 + 2x + 3 \right) dx \]

Теперь вычисляем сам интеграл: \[ \int -x^2 dx + \int 2x dx + \int 3 dx \]

В итоге: \[ \left[-\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{3} + \left[x^2\right]_{-1}^{3} + \left[3x\right]_{-1}^{3} \]

Теперь подставляем пределы интегрирования: \[ \left(-\frac{(3)^3}{3} + \frac{(-1)^3}{3}\right) + \left((3)^2 - (-1)^2\right) + \left(3(3) - 3(-1)\right) \]

\[ \left(-9/3 + 1/3\right) + \left(9 - 1\right) + \left(9 + 3\right) \]

\[ \left(-3 + \frac{1}{3}\right) + 8 + 12 \]

\[ \left(-3 + \frac{1}{3}\right) + 20 \]

\[ -2.667 + 20 \]

\[ 17.333 \]

Таким образом, площадь равна \(17.333\).

Если остались вопросы, пиши, будем разбираться дальше!