Реши пожалуйста

Привет! Давай решим задачи одну за одной. Начнем с первой:

1. Найти производные функций:
   1. \( f(x) = 7x^6 - \frac{x}{5} + 2x^3 - 8 \)

Чтобы найти производную от всех членов, применим правила дифференцирования:

• Производная от \( 7x^6 \) — \( 42x^5 \)
• Производная от \( -\frac{x}{5} \) — \( -\frac{1}{5} \)
• Производная от \( 2x^3 \) — \( 6x^2 \)
• Производная от константы \( -8 \) — \( 0 \)

Итак, производная: \( f'(x) = 42x^5 - \frac{1}{5} + 6x^2 \).

2. \( f(x) = \frac{x^2 + 3x}{2x - 4} \)

Тут лучше применить правило частного:

• \( u = x^2 + 3x \)
• \( v = 2x - 4 \)
• \( u' = 2x + 3 \)
• \( v' = 2 \)

Производная: \( f'(x) = \frac{(2x + 3)(2x - 4) - (x^2 + 3x)(2)}{(2x - 4)^2} \).

Сначала упростим числитель и затем знаменатель:

• \( (2x + 3)(2x - 4) = 4x^2 - 8x + 6x - 12 = 4x^2 - 2x - 12 \)
• \( 2(x^2 + 3x) = 2x^2 + 6x \)

Теперь подставим и упростим: \( f'(x) = \frac{4x^2 - 2x - 12 - (2x^2 + 6x)}{(2x - 4)^2} = \frac{2x^2 - 8x - 12}{(2x - 4)^2} \)

Так будет проще.

3. \( f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^3} \)

Перепишем \( f(x) \), чтобы было проще дифференцировать: \( f(x) = 2x^{-1} + 3x^{-3} \)

Производные:

• \( 2x^{-1} \) — \( -2x^{-2} \)
• \( 3x^{-3} \) — \( -9x^{-4} \)

Итак, \( f'(x) = -2x^{-2} - 9x^{-4} \).

Теперь переходи ко второй задаче:

2. Найти уравнение касательной к графику функции \( f(x) = x^3 + 4x + 6 \) в точке с абсциссой \( x_0 = 2 \).

Сначала найдем производную \( f(x) \), чтобы найти наклон касательной: Производная \( f(x) \) — \( f'(x) = 3x^2 + 4 \).

Теперь вычислим значение производной в точке \( x = 2 \): \( f'(2) = 3(2^2) + 4 = 12 + 4 = 16 \).

Теперь найдем \( f(2) \): \( f(2) = 2^3 + 4 * 2 + 6 = 8 + 8 + 6 = 22 \).

Уравнение касательной: \( y - y_0 = m(x - x_0) \)

Подставляем \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 22 \), \( m = 16 \): \( y - 22 = 16(x - 2) \)

Упростим: \( y = 16x - 32 + 22 \) \( y = 16x - 10 \)

Теперь третья задача:

3. Найти производную данной функции и вычислить её значения в данной точке.

Функция: \( f(x) = x^2 \sin x \) Точка: \( x = 0 \)

Применим правило произведения: \( u = x^2 \) \( v = \sin x \) Производные: \( u' = 2x \) \( v' = \cos x \)

Теперь: \( f'(x) = x^2 \cos x + 2x \sin x \)

В точке \( x = 0 \): \( f'(0) = 0^2 \cos 0 + 2 * 0 \sin 0 = 0 \).

Так, оставим тело и графики пока, а вернемся либо позже, либо одновременно. — скажи, как лучше побыстрее подойти?