Реши

Привет! Давай вместе разберем эти задачи.

1. Найти производную функции:

   1. \(f(x) = 7x^6 - \frac{x^5}{2} - 3x - 8\)

   Производная функции будет: \( f'(x) = 42x^5 - \frac{5x^4}{2} - 3 \)

   2. \(f(x) = (3x^2 + 2)(x^2 - 3)\)

   Применим правило произведения: \[ f'(x) = (3x^2 + 2)'(x^2 - 3) + (3x^2 + 2)(x^2 - 3)' \] \( f'(x) = 6x(x^2 - 3) + (3x^2 + 2)2x \) \( f'(x) = 6x^3 - 18x + 6x^3 + 4x \) \( f'(x) = 12x^3 - 14x \)

   3. \(f(x) = \frac{2x + 3}{x^2}\)

   Применим правило частного: \[ f'(x) = \frac{(2x+3)' \cdot x^2 - (2x+3) \cdot (x^2)'}{(x^2)^2} \] \( f'(x) = \frac{2x^2 - 2(2x+3)x}{x^4} \) \( f'(x) = \frac{2x^2 - 4x^2 - 6x}{x^4} \) \( f'(x) = \frac{-2x^2 - 6x}{x^4} \) \( f'(x) = \frac{-2x(x + 3)}{x^4} \) \( f'(x) = -\frac{2(x + 3)}{x^3} \)

2. Найти уравнение касательной к графику функции:

   1. \(f(x) = \frac{3x^2 + 4}{x} \) в точке с абсциссой x = 10.

   Найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{(3x^2 + 4)' \cdot x - (3x^2 + 4) \cdot (x)'}{x^2} \] \( f'(x) = \frac{6x \cdot x - (3x^2 + 4)}{x^2} \) \( f'(x) = \frac{6x^2 - 3x^2 - 4}{x^2} \) \( f'(x) = \frac{3x^2 - 4}{x^2} \) \( f'(x) = 3 - \frac{4}{x^2} \)

   Подставим x = 10: \( f'(10) = 3 - \frac{4}{100} = 3 - 0.04 = 2.96 \)

   Найдем значение функции в точке x = 10: \( f(10) = \frac{3 \cdot 10^2 + 4}{10} = \frac{304}{10} = 30.4 \)

   Уравнение касательной: \( y - 30.4 = 2.96(x - 10) \)

3. Найти производную данной функции и вычислить ее значение в данной точке:

   1. \(f(x) = 2x - (x - 1)^4\), x = 2

   Найдем производную: \( f'(x) = 2 - 4(x - 1)^3 \)

   Подставим x = 2: \(f'(2) = 2 - 4(2 - 1)^3 = 2 - 4 \cdot 1^3 = 2 - 4 = -2\)

4. Тело движется прямолинейно по закону:

   \( s(t) = 0.2t^4 - 0.6t^2 + 5 \)

   Найти скорость движения в момент времени t = 2.

   Найдем производную \( s(t) \): \( s'(t) = 0.8t^3 - 1.2t \)

   Подставим t = 2: \( s'(2) = 0.8 \cdot 2^3 - 1.2 \cdot 2 = 0.8 \cdot 8 - 2.4 = 6.4 - 2.4 = 4 \)

   Скорость в момент времени t = 2 равна 4 метра в секунду.

5. Знайти рівняння дотичної до графіка функції:

   \(f(x) = \frac{8}{\sqrt{x}}, x_0 = 0.8\)

   Найдем производную: \(f(x) = 8x^{-1/2} \) \( f'(x) = -4x^{-3/2} = -\frac{4}{x^{3/2}} \)

   Подставим \( x = 0.8 \): \( f'(0.8) = -\frac{4}{(0.8)^{3/2}} = -\frac{4}{(0.512)} \approx -7.81 \)

   Найдем значение функции в точке \( x = 0.8 \): \( f(0.8) = \frac{8}{\sqrt{0.8}} = \frac{8}{0.8944} \approx 8.944 \)

   Уравнение касательной: \( y - 8.944 = -7.81(x - 0.8) \)

6. Дослідити функцію за допомогою похідної і побудувати три графіки:

   Функция \( y = x^4 - x^2 \)

   Найдем производную: \( y' = 4x^3 - 2x \)

   Для исследования понадобится также вторая производная: \( y'' = 12x^2 - 2 \)

   Исследование функции включает исследование знака первой производной для нахождения промежутков возрастания/убывания, и второй производной для выяснения характера экстремумов и построения графиков.

Надеюсь, это поможет! Теперь у тебя есть все необходимые шаги. Если у тебя есть дополнительные вопросы, обращайся!