Грамматическая основа в предложении:Греки чувствовали себя единой нацией лишь в период общей опасности, когда надо было совместно выступать против внешнего враг, и во время общегреческих спортивных состязаний

Грамматическая основа в данном предложении - это сочетание сказуемого, подлежащего и дополнений. В данном случае, сказуемое - "чувствовали", подлежащее - "Греки", выраженное в именительном падеже. Дополнения, указывающие на условия чувствования единства нации, включают в себя обстоятельственные члены предложения "лишь в период общей опасности" и "и во время общегреческих спортивных состязаний", а также придаточные предложения "когда надо было совместно выступать против внешнего враг". Все эти элементы образуют именно грамматическую основу данного предложения.