Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)=корень х + 4х в точке с абсциссой х0=1

Для составления уравнения касательной к графику функции \( f(x) = \sqrt{x} + 4x \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \), нужно вычислить значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

Сначала найдем производную функции \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x} + 4x) \]

Дифференцируем обе части по отдельности: \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] \[ \frac{d}{dx}(4x) = 4 \]

Теперь составим уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в точке \( x_0 = 1 \). В точке \( x_0 = 1 \) производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} + 4 = \frac{1}{2} + 4 = \frac{9}{2} \]

Таким образом, уравнение касательной имеет вид: \[ y - f(1) = f'(1)(x - 1) \] \[ y - (\sqrt{1} + 4(1)) = \frac{9}{2}(x - 1) \] \[ y - 5 = \frac{9}{2}(x - 1) \]

Полученное уравнение представляет касательную к графику функции \( f(x) = \sqrt{x} + 4x \) в точке с абсциссой \( x_0 = 1 \).