Вычислите косинус угла между векторами ТК (5;0) и вектором РТ(-2;4)

Для вычисления косинуса угла между двумя векторами необходимо воспользоваться формулой для скалярного произведения векторов.

Пусть у нас есть вектора \( \vec{TK} = (5, 0) \) и \( \vec{PT} = (-2, 4) \).

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

\[ \vec{TK} \cdot \vec{PT} = TK_x \cdot PT_x + TK_y \cdot PT_y \]

где \( TK_x \) и \( TK_y \) - координаты вектора \( \vec{TK} \), а \( PT_x \) и \( PT_y \) - координаты вектора \( \vec{PT} \).

Подставим значения и получим:

\[ \vec{TK} \cdot \vec{PT} = (5 \cdot (-2)) + (0 \cdot 4) = -10 \]

Теперь найдем длины векторов \( \vec{TK} \) и \( \vec{PT} \) по формуле длины вектора: \( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \).

Длина вектора \( \vec{TK} \): \( |\vec{TK}| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5 \)

Длина вектора \( \vec{PT} \): \( |\vec{PT}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)

Теперь вычислим косинус угла между векторами по формуле:

\[ \cos(\theta) = \frac{ \vec{TK} \cdot \vec{PT} }{ |\vec{TK}| \cdot |\vec{PT}| } = \frac{-10}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{-10}{10\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \vec{TK} \) и \( \vec{PT} \) равен \( -\frac{\sqrt{5}}{5} \).