Погостив у бабушки, лицеист Петя отправился домой через дремучий лес со своей собакой Пуговкой. Петя всё время шёл с постоянной скоростью 80 м/мин. Пуговка сперва шла рядом, а затем, учуяв опасность на самой тёмной полянке леса, в 15:45 побежала вперёд, увеличив при этом свою скорость в 2 раза. Добежав до полянки и мгновенно всё проверив, она вернулась обратно к Пете в 16:05. Дальше они снова шли вместе. В какое время на самой тёмной полянке была Пуговка?

Для решения этой задачи, давайте разделим путь на три отрезка в зависимости от того, когда Пуговка бежала вперед и возвращалась назад к Пете.

1. Первый отрезок: от начала пути до момента, когда Пуговка побежала вперед. На это время (15:45) Петя уже прошел 80 м/мин * 45 мин = 3600 м.

2. Второй отрезок: от точки, где Петя и Пуговка встретились, до полянки и обратно. За это время (16:05 - 15:45 = 20 мин) путь, который прошел Петя, составил 80 м/мин * 20 мин = 1600 м. Так как скорость Пуговки выросла в 2 раза, то она за это время бежала 1600 м.

3. Третий отрезок: от момента, когда Пуговка возвращается к Пете, до полянки. Петя и Пуговка прошли этот отрезок вместе. За 20 минут они прошли 80 м/мин * 20 мин = 1600 м.

Таким образом, суммарно Петя прошел 3600 м + 1600 м = 5200 м, а Пуговка – 1600 м + 1600 м = 3200 м.

Давайте найдем момент времени, когда Пуговка была на самой темной полянке. Пуговка на самой темной полянке была за время, равное половине времени, затраченного на второй отрезок, то есть за 20/2 = 10 минут.

Поскольку она оказалась на полянке в 16:05, то время, когда она была на самой темной полянке, составляет 16:05 - 10 мин = 15:55.

Таким образом, Пуговка была на самой темной полянке в 15:55.