Найдите решение дифференциального уравнения y’=-6y+4

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка.

Для решения такого уравнения мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Для этого нужно привести уравнение к виду y’ + P(x)y = Q(x), где P(x) и Q(x) - некоторые функции.

Уравнение y’ = -6y + 4 уже в форме y’ + P(x)y = Q(x), где P(x) = -6 и Q(x) = 4.

Интегрирующий множитель M(x) можно найти по формуле M(x) = e^∫P(x)dx. В данном случае M(x) = e^∫-6dx = e^(-6x).

Умножим обе части уравнения на M(x): e^(-6x)y’ - 6e^(-6x)y = 4e^(-6x).

Теперь в левой части полученного уравнения можем применить правило дифференцирования произведения функций: (e^(-6x)y)’ = 4e^(-6x).

Интегрируем обе стороны уравнения, получим: e^(-6x)y = ∫ 4e^(-6x)dx + C, где С - константа интегрирования.

Выразим у из полученного выражения: y = e^(6x) * (∫ 4e^(-6x)dx + C).

Интегрируем ∫ 4e^(-6x)dx: y = e^(6x) * (-2/3)e^(-6x) + C1, y = -2/3 + C1e^(6x).

Таким образом, решение дифференциального уравнения y’ = -6y + 4 будет выглядеть следующим образом: y = -2/3 + C1e^(6x), где С1 - произвольная постоянная.