выбиреи правильный вариант
Привет! Давай вместе разбираться с задачей. Нам нужно найти корень уравнения:
\[ \sin 8x + \sin 6x = 9 \cos x \]
Нам даны варианты ответов, и нужно выбрать правильный:
\[ \pi, \quad \frac{\pi}{4}, \quad \frac{21\pi}{4}, \quad -\frac{17\pi}{2} \]
Рассмотрим уравнение \( \sin 8x + \sin 6x = 9 \cos x \).
Используем форму для суммы синусов: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right) \]
Применим эту формулу к левому члену уравнения: \[ \sin 8x + \sin 6x = 2 \sin \left(\frac{8x + 6x}{2}\right) \cos \left(\frac{8x - 6x}{2}\right) \] \[ = 2 \sin 7x \cos x \]
Подставим это в уравнение: \[ 2 \sin 7x \cos x = 9 \cos x \]
Если \\( \cos x \neq 0 \\), то у нас есть общее короткое уравнение: \[ 2 \sin 7x = 9 \]
Но значение синуса всегда находится в пределах \([-1, 1]\), таким образом это уравнение не имеет решений при \( \cos x \neq 0 \).
Если \\( \cos x = 0 \\), тогда: \[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi \]
Проверим эти значения подставляя их в исходное уравнение: Возьмем самое простое \\( k = -3 \\): \[ x = -\frac{3\pi}{2} \]
После чего другие значения для подстановки нам уже не интересны, так как из списка значений подходит только: \[ \boxed{\frac{\pi}{4}} \]
Вот и все! Если возникли вопросы, не стесняйся спрашивать!
