Реши
Привет! Давай разберемся с этим неравенством шаг за шагом.
Неравенство выглядит следующим образом: \[ \frac{225 - x^2}{x - 12 } > 0 \]
Найдем нули числителя и знаменателя:
- \(225 - x^2 = 0\)
- \( x^2 = 225 \)
- \( x = \pm 15 \)
Таким образом, нули числителя \( x = 15 \) и \( x = -15 \).
Теперь знаменатель:
- \( x - 12 = 0 \)
- \( x = 12 \)
Нанесем точки на числовую ось и разбиваем её на интервалы, учитывая \( x = -15, 12, 15 \).
Получаем интервалы: \( (-\infty, -15) \), \( (-15, 12) \), \( (12, 15) \), \( (15, \infty) \).
Проверяем знак выражения на каждом интервале:
- На интервале \( (-\infty, -15) \): Выбираем \( x = -20 \), \(\frac{225 - (-20)^2}{-20 - 12} = \frac{225 - 400}{-32} = \frac{-175}{-32} > 0 \).
- На интервале \( (-15, 12) \): Выбираем \( x = 0 \), \(\frac{225 - 0^2}{0 - 12} = \frac{225}{-12} < 0 \).
- На интервале \( (12, 15) \): Выбираем \( x = 14 \), \(\frac{225 - 14^2}{14 - 12} = \frac{225 - 196}{2} = \frac{29}{2} > 0 \).
- На интервале \( (15, \infty) \): Выбираем \( x = 20 \), \(\frac{225 - 20^2}{20 - 12} = \frac{225 - 400}{8} = \frac{-175}{8} < 0 \).
Нули числителя включать мы не можем, так как при \( x = 15 \) числитель обращается в ноль и дробь не определена. То же касается \( x = 12 \) из знаменателя.
Итак, решение неравенства:
- Интервал \( (-\infty, -15] \)
- Интервал \( (12, 15] \)
Выбираем промежутки:
- При \( x \in (-\infty, -15] \)
- При \( x \in (12, 15] \)
Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся спрашивать.
