7. На рис. 2 точки А. В. М. СіD лежать на колі з цен тром О. Знайдіть кути чотирикутника ABCD, якщо ZAMC 74°, BOD=152. 8. На стороні CD квадрата позначено точку К так, що ДАВК = 60°. Знайдіть довжину відрізка АК, якщо ВС=6 см. Високий рівень (3 бали) 9. Основи рівнобедреної трапеції дорівнюють 11 см і 25 см, а діагоналі є бісектрисами тупих кутів. Об- числіть площу трапеції.

7. Для знаходження кутів чотирикутника ABCD використаємо теорему про суму кутів у внутрішній області:

Сума всіх кутів у чотирикутнику дорівнює 360 градусів.

Знаємо, що ZAMC = 74°, тому ZBMC = 360° - ZAMC = 360° - 74° = 286°. Оскільки BOD = 152°, то AOC = 360° - BOD = 360° - 152° = 208°.

Далі для знаходження кутів ABCD ми можемо використовувати властивості кола:

• Кут, створений дугою, що опирається на дану точку на колі, дорівнює половині вимірювання цієї дуги.

Отже, кути ABC і ADC дорівнюють половині цієї дуги:

• ZBOD = 152°, тому кути ABC та ADC дорівнюють по пів кута: ABC = 152°/2 = 76° та ADC = 152°/2 = 76°.

Кути BCD і ABD можна також знайти використовуючи властивості кола та суму кутів у замкнутій фігурі.

8. Для знаходження довжини відрізка АК використаємо трикутник ADC та властивості трикутника та кола:

Давайте знайдемо кут КDA = 180° - ДАВК = 180° - 60° = 120°. Також, кут DAC = 180° - 60° - 90° = 30° (оскільки у прямокутному трикутнику сума кутів дорівнює 180°).

Тепер ми можемо вибрати сторону, протилежну куту 30°, і використати теорему синусів: sin(DAC) / AK = sin(DKA) / DC

DC = BC = 6 см (оскільки це сторона квадрата), DAC = 30°, DKA = 120°.

АК = sin(DAC) * DC / sin(DKA) АК = sin(30°) * 6 / sin(120°) АК = 0.5 * 6 / √3 = 3 / √3 = 3√3 см.

Отже, довжина відрізка АК дорівнює 3√3 см.