Король приказал построить в городе метро, причём в нем должно быть 101 линия и любые две линии должны пересекаться ровно в одной общей пересадочной станции. Кроме того, ровно в…

Для решения этой задачи можно воспользоваться комбинаторикой. Построим граф линий метро, где вершинами будут станции, а рёбра - пересечения линий.

Сначала найдем количество пересечений для 101 линии, приметим, что каждая линия должна касаться остальных 100 линий, а значит вся общая касательная всех линий равна:

\[ C_{2}^{101}=\frac{101!}{2! \cdot (101-2)!}=5050 \]

Теперь находим количество станций, в которых сходятся три линии. Каждая такая станция вносит по 3 пересечения, размер которой количество её пересечений - 2:

\[ 3 \cdot \left[C_{3}^{101}-1\right]=14850 \]

И получаем количество станций-пересадок:

\[ \frac{5050 - 14850}{2} = -4900 \]

Так как количество станций-пересадок получилось отрицательным, то здесь явно допущена ошибка в рассуждениях. Посмотрим на количество пересечений двух вершин графа, для этого рассмотрим граф без станций-сходок трех линий. Для этого уменьшим количество линий на 3:

\[ C_{2}^{98} = \frac{98!}{2! \cdot (98-2)!} = 4753 \]

Теперь прибавим количество пересечений трех вершин графа:

\[ 4753 + 14850 = 19503 \]

Избавимся от повторений, деля на 2:

\[ \frac{19503}{2} = 9751 \]

И тогда количество пересадок равно:

\[ 9751 - 98 = 9653 \]

Таким образом, придется построить 9653 пересадочных станции.