Решить уравнение у’=(х+у)/х

Данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решим его следующим образом:

Уравнение вида у' = M(x, y) + N(x, y)y', где M(x, y) = (x + y)/x и N(x, y) = -1, заметим, что оно не является уравнением в точных дифференциалах.

Используем метод интегрирующего множителя. Для этого найдем коэффициент, на который нужно умножить данное уравнение, чтобы оно стало уравнением в точных дифференциалах.

Частная производная M по y равна dM/dy = 1/x, а частная производная N по x равна dN/dx = 0.

Коэффициент интегрирующего множителя равен μ(x) = e^(∫(dM/dy - dN/dx)dy).

Тогда μ(x) = e^(∫(1/x - 0)dy) = e^ln|x| = |x|.

Теперь умножим исходное уравнение у'=(x + y)/x на коэффициент μ(x):

|x|*у' = |x|(x + y)/x.

Получим:

xу' - y = x + y.

Преобразуем это уравнение:

xу' - y = x + y,

xу' = 2y + x,

у' = (2y + x)/x.

Теперь уравнение у' = (2y + x)/x можно решить, используя метод решения дифференциальных уравнений.