Дано: треугольник ABC, СМ — медиана, АА1 перпендикулярна СМ, ВВ1 перпендикулярна СМ. доказать: АА1=ВВ1

Для доказательства равенства отрезков АА1 и ВВ1 в треугольнике ABC, где СМ - медиана, необходимо воспользоваться свойствами треугольников.

Обозначим точку пересечения медианы СМ с стороной АВ как О. Так как медиана СМ делит сторону АВ в отношении 2:1 (то есть АО=2ОС), то мы можем рассмотреть треугольники АА1О и ВВ1О.

Поскольку отрезки АА1 и ВВ1 перпендикулярны к медиане, то углы АА1О и ВВ1О будут прямыми. Теперь, так как в треугольнике АА1О два прямых угла (по условию) и угол при вершине О равен в обоих треугольниках, при этом угол О равен 90 градусов, то по критерию равенства треугольников мы имеем, что треугольники АА1О и ВВ1О равны.

Из равенства треугольников следует, что АА1=ВВ1. Таким образом, доказательство завершено.