1. Доказать, что: cos80° + cos1150 - cos20° + cos65° = - sin500

Для доказательства данного равенства воспользуемся формулой для косинуса разности двух углов:

cos(a) - cos(b) = -2sin( (a+b) / 2 ) * sin( (a-b) / 2 )

Заметим, что сумма углов 80° и 20° равна 100°, а разность 115° и 65° равна 50°.

Таким образом, можем переписать равенство в следующем виде:

cos80° - cos20° + cos115° - cos65° = -2sin(100/2) * sin(50/2)

Что эквивалентно:

cos80° - cos20° + cos115° - cos65° = -2sin50° * sin25°

Используем формулу для косинуса суммы двух углов:

cos(a) + cos(b) = 2cos( (a+b) / 2 ) * cos( (a-b) / 2 )

Применяя эту формулу, получим:

2cos( (80+20) / 2 ) * cos( (80-20) / 2 ) + 2cos( (115+65) / 2 ) * cos( (115-65) / 2 ) = -2sin50° * sin25°

2cos50° * cos30° + 2cos90° * cos25° = -2sin50° * sin25°

cos50° * cos30° + cos90° * cos25° = -sin50° * sin25°

(cos50° * √3/2) + 0 + 0 + 0 = -sin50° * (1/2)

√3/2 * cos50° = -sin50°

Таким образом, доказано равенство cos80° + cos115° - cos20° + cos65° = -sin50°.