Дан многочлен Р (х) с целыми коэффициентами. Известно, что уравнение Р (x) = 3 имеет целый корень на полуоси х ≥ 9 и Р (3) = 13. Найти этот корень.

Для начала заметим, что если уравнение \( P(x) = 3 \) имеет целый корень \( a \), то оно может быть записано в виде \( P(x) = (x - a)Q(x) \), где \( Q(x) \) - это другой многочлен с целыми коэффициентами.

Из условия \( P(3) = 13 \), получаем:

\[ P(3) = (3 - a)Q(3) = 13 \]

Также, учитывая условие, что у многочлена есть целый корень на полуоси \( x \geq 9 \), можем предположить, что этот корень равен 9.

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ P(x) = (x - 9)Q(x) = 3 \]

\[ (3 - 9)Q(3) = 13 \]

\[ -6Q(3) = 13 \]

\[ Q(3) = -\frac{13}{6} \]

Так как коэффициенты многочлена \( Q(x) \) должны быть целыми числами, мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение о том, что корень равен 9, неверно.

Давайте обозначим целым корнем \( b \). Тогда уравнение \( P(x) = 3 \) может быть записано как:

\[ P(x) = (x - b)Q(x) = 3 \]

\[ (3 - b)Q(3) = 13 \]

Теперь подставим значения и найдем корень \( b \):

\[ (3 - b)Q(3) = 13 \]

\[ (3 - b) \cdot Q(3) = 13 \]

Учитывая, что \( Q(3) \) - целое число, мы видим, что \( (3 - b) \) должно делиться на 13. Так как мы знаем, что \( b \geq 9 \) и \( b \) - целое число, можем предположить, что \( 3 - b = 13 \) => \( b = -10 \).

Таким образом, целый корень уравнения \( P(x) = 3 \) равен \( b = -10 \).