Все коэффициенты многочлена Р(х) - целые числа. Известно, что Р (2) = 1 и что P(n) = 2 при некотором натуральном n. Найдите возможные значения n

Дано, что многочлен \( P(x) \) имеет целочисленные коэффициенты.

По условию, \( P(2) = 1 \), то есть \( P(2) = a_n \cdot 2^n + a_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 2 + a_0 = 1 \), где \( a_i \) - целые коэффициенты многочлена.

Также дано, что \( P(n) = 2 \) при некотором натуральном \( n \), то есть \( P(n) = a_n \cdot n^n + a_{n-1} \cdot n^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot n + a_0 = 2 \).

Подставим \( x = 2 \) и \( x = n \) в многочлен \( P(x) \), чтобы получить систему уравнений:

\[ \begin{cases} a_n \cdot 2^n + a_{n-1} \cdot 2^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 2 + a_0 = 1 \\ a_n \cdot n^n + a_{n-1} \cdot n^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot n + a_0 = 2 \\ \end{cases} \]

Таким образом, мы можем найти возможные значения \( n \), удовлетворяющие этой системе уравнений.

Решив данную систему, мы можем найти возможные значения \( n \).