Все коэффициенты многочлена Р(х) - целые числа. Известно, что Р (2) = 1 и что P(n) = 2 при некотором натуральном n. Найдите возможные значения n

По условию задачи, коэффициенты многочлена \( P(x) \) - целые числа. Зная что \( P(2) = 1 \) и \( P(n) = 2 \) при некотором натуральном \( n \), мы можем записать многочлен вида:

\[ P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0 \]

Из условия \( P(2) = 1 \) мы можем подставить \( x = 2 \) в этот многочлен:

\[ P(2) = a_n2^n + a_{n-1}2^{n-1} + \ldots + a_12 + a_0 = 1 \]

Также, по условию \( P(n) = 2 \), мы можем подставить \( x = n \) в многочлен:

\[ P(n) = a_nn^n + a_{n-1}n^{n-1} + \ldots + a_1n + a_0 = 2 \]

Из этих условий мы видим, что в многочлене \( P(x) \) коэффициент \( a_0 \) равен 1 при \( x = 2 \) и равен 2 при \( x = n \). Таким образом, мы приходим к уравнению:

\[ a_0 = 1 \] при \( x = 2 \) и \( a_0 = 2 \) при \( x = n \)

Решая это уравнение, мы находим возможные значения \( n \):

\[ 2 = a_0 = 1 \Rightarrow n = 2 \]

Таким образом, единственным возможным значением \( n \) является 2.