Все коэффициенты многочлена Р(х) - целые числа. Известно, что Р (2) = 1 и что P(n) = 2 при некотором натуральном n. Найдите возможные значения n

Для решения данной задачи воспользуемся двумя фактами:

1. Если все коэффициенты многочлена P(x) - целые числа, и P(2) = 1, то этот многочлен можно записать в следующем виде: P(x) = a(x-2) + 1, где а - некоторое целое число.

2. Также, из условия P(n) = 2 при некотором натуральном n следует, что P(x) - 2 = (x - n)Q(x), где Q(x) - многочлен с целыми коэффициентами.

С учетом этих фактов, можем записать P(x) в виде:

P(x) = a(x-2) + 1 = (x - n)Q(x) + 2.

Остается рассмотреть возможные варианты значений n. При подстановке x = 2 получаем:

P(2) = a(2-2) + 1 = 1, 1 = 1, следовательно, a = 1.

Таким образом, уравнение принимает вид:

(x-2) + 1 = (x - n)Q(x) + 2, x - 1 = (x-n)Q(x) + 2, (x-1) - 2 = (x-n)Q(x), x - 3 = (x-n)Q(x).

Отсюда имеем два варианта решения: либо (1) n = 1, либо (2) Q(x) = 1. Так как n является натуральным числом, то возможным значением n является n = 1.