по кругу разложено 179 карточек на каждой карточке записано одно натуральное число при этом у любых двух соседних карточек одну из чисел делятся на другой Докажите что найдутся…
По кругу разложено 179 карточек на каждой карточке записано одно натуральное число при этом у любых двух соседних карточек одну из чисел делятся на другой Докажите что найдутся две соседние карточки у которых тоже одно из чисел делится на другое
Дано, что на каждой карточке записано натуральное число, и у двух соседних карточек одно из чисел делится на другое. Давайте докажем, что существуют две соседние карточки, у которых одно из чисел также делится на другое.
Предположим, что таких двух карточек нет. Рассмотрим последовательность чисел на карточках по кругу. Пусть на первой карточке записано число \( a_1 \), на второй - число \( a_2 \), и так далее до 179-й карточки с числом \( a_{179} \). Мы знаем, что для любых двух соседних карточек выполнено \( a_i \,|\, a_{i+1} \) или \( a_{i+1} \,|\, a_i \), где символ \( |\) обозначает деление.
Теперь рассмотрим пары соседних чисел \( a_1 \) и \( a_2 \), \( a_2 \) и \( a_3 \), и так далее до \( a_{178} \) и \( a_{179} \). Если в каждой паре одно из чисел не делится на другое, то обязательно найдется пара, в которой оба числа равны друг другу (по принципу Дирихле). Но так как у нас числа на карточках различны, то не может быть пары с равными числами.
Таким образом, наши предположения приводят к противоречию, и мы можем утверждать, что существуют две соседние карточки, у которых одно из чисел делится на другое.
