Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии с общим знаменателем \( r \) и первым членом \( a \) её сумма равна \(\frac{a}{1-r}\), если \( |r| < 1 \).

У нас дано, что \( b_3 = 8 \) и \( 5b_5 = 3\frac{5}{9} \). Мы знаем, что общий знаменатель \( r \) равен \( b_3 / b_5 \), а первый член \( a \) равен \( b_3 \).

Используя данную информацию, найдем \( r \): \[ r = \frac{b_3}{b_5} = \frac{8}{5 \cdot \frac{3 + \frac{5}{9}}{5}} = \frac{8}{3 + \frac{5}{9}} = \frac{8}{\frac{32}{9} + \frac{5}{9}} = \frac{8}{\frac{37}{9}} = \frac{72}{37} \]

Теперь найдем первый элемент прогрессии \( a = b_3 = 8 \).

Таким образом, сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна: \[ \frac{a}{1-r} = \frac{8}{1-\frac{72}{37}} = \frac{8 \cdot 37}{37-72} = \frac{296}{-35} = -8.4571 \]

Сумма данной геометрической прогрессии равна -8.4571.