Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9
Для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \( b_1 \) и знаменателем \( q \) справедлива формула:
\[ S = \frac{b_1}{1 - q} \]
Известно, что \( b_3 = 8 \) и \( 5b_5 = 3\frac{5}{9} \).
Для начала, найдем значения первого члена \( b_1 \) и знаменателя \( q \):
Зная, что \( b_3 = 8 \), можно записать:
\[ b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8 \]
Также, зная, что \( 5b_5 = 3\frac{5}{9} \), можно записать:
\[ 5b_1 \cdot q^4 = 3\frac{5}{9} \]
Теперь, найдем \( b_1 \) и \( q \):
Из уравнения \( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 8 \) найдем \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{8}{q^2} \]
Подставим \( b_1 \) во второе уравнение: \[ 5 \cdot \frac{8}{q^2} \cdot q^4 = 3\frac{5}{9} \] \[ 40q^2 = 3\frac{5}{9} \] \[ 40q^2 = 3.5555...\]
Теперь, найдем \( q \):
\[ q = \sqrt{\frac{3.5555...}{40}} \approx 0.4714 \]
Теперь, выразим \( b_1 \) через \( q \):
\[ b_1 = \frac{8}{q^2} = \frac{8}{(0.4714)^2} \approx 34.03 \]
Теперь, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
\[ S = \frac{34.03}{1 - 0.4714} = \frac{34.03}{0.5286} \approx 64.38 \]
Сумма этой бесконечной прогрессии равняется примерно 64.38.
