Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9
Для начала, нам нужно найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Известно, что \( b_3 = 8 \) и \( 5b_5 = 3\frac{5}{9} \).
Мы знаем, что \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \), где \( b_n \) - n-й член прогрессии, \( b_1 \) - первый член прогрессии, \( q \) - знаменатель прогрессии.
У нас есть два уравнения:
- \( b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 8 \)
- \( 5b_5 = 5 \cdot b_1 \cdot q^{5-1} = 5 \cdot b_1 \cdot q^4 = 3\frac{5}{9} \)
Делим второе уравнение на первое: \[ \frac{5 \cdot b_1 \cdot q^4}{b_1 \cdot q^2} = \frac{3\frac{5}{9}}{8} \]
\[ 5q^2 = \frac{3\frac{5}{9}}{8} \]
\[ 5q^2 = \frac{28}{9} \]
\[ q^2 = \frac{28}{45} \]
\[ q = \sqrt{\frac{28}{45}} = \frac{2\sqrt{35}}{15} \]
Теперь находим первый член: \[ b_1 = \frac{8}{q^2} = \frac{8}{\frac{4 \cdot 35}{225}} = \frac{8 \cdot 225}{4 \cdot 35} = \frac{8 \cdot 225}{140} = \frac{1800}{140} = 12.857 \]
Таким образом, первый член прогрессии \( b_1 \approx 12.857 \) и знаменатель прогрессии \( q = \frac{2\sqrt{35}}{15} \).
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии \( S = \frac{b_1}{1-q} \). Подставляем значения: \[ S = \frac{12.857}{1 - \frac{2\sqrt{35}}{15}} = \frac{12.857}{1 - \frac{2\sqrt{35}}{15}} \]
Можно упростить выражение, но для точного ответа потребуется калькулятор или программное обеспечение.
