Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9
Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула:
\[ S = \frac{a}{1 - r}, \]
где \( a \) - первый член прогрессии, \( r \) - знаменатель прогрессии.
Дано, что \( b_3 = 8 \) и \( 5b_5 = 3 \frac{5}{9} \).
Из формулы для члена прогрессии \( b_n = b_1 \cdot r^{n-1} \) имеем:
По условию, \( b_3 = b_1 \cdot r^{2} = 8 \).
Также, \( b_5 = b_1 \cdot r^{4} = \frac{3 \frac{5}{9}}{5} \).
Теперь мы можем составить систему уравнений:
Сначала найдем \( b_1 \) и \( r \) из уравнения \( b_3 = 8 \):
- \( b_1 \cdot r^{2} = 8 \)
- \( b_1 \cdot r^{4} = \frac{3 \frac{5}{9}}{5} \)
Умножим первое уравнение на \( r^2 \) и выразим \( b_1 \) через \( r \):
\( b_1 = \frac{8}{r^2} \)
Подставим \( b_1 \) во второе уравнение:
\( \frac{8}{r^2} \cdot r^4 = \frac{3 \frac{5}{9}}{5} \)
\( 8r^2 = \frac{3 \frac{5}{9}}{5} \)
\( 8r^2 = \frac{68}{15} \)
\( r^2 = \frac{17}{30} \)
\( r = \sqrt{\frac{17}{30}} \)
Теперь найдем \( b_1 \) из уравнения \( b_3 = 8 \):
\( \frac{8}{(\sqrt{\frac{17}{30}})^2} = 8 \)
\( \frac{8}{\frac{17}{30}} = 8 \)
\( \frac{8 \cdot 30}{17} = 8 \)
\( \frac{240}{17} = 8 \)
\( b_1 = \frac{240}{17} \)
И, наконец, найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле:
\[ S = \frac{\frac{240}{17}}{1 - \sqrt{\frac{17}{30}}} = \frac{\frac{240}{17}}{1 - \sqrt{\frac{17}{30}}} \]
