Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9

Для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно найти значение первого элемента прогрессии (b) и знаменатель прогрессии (q).

Известно, что b₃ = 8 и 5b₅ = 3 целые 5/9.

b₃ = b * q² = 8 (1) 5b₅ = 5b * q⁴ = 3 целые 5/9 (2)

Из уравнения (1) можем найти значение b:

b = 8 / q²

Подставим b в уравнение (2):

5 * (8/q²) * q⁴ = 3 целые 5/9 40 * q² = 3 целые 5/9 40 * q² = 28/9

q² = 28/360 = 7/90 q = √(7/90) = √(7) / √(90) = √(7) / 3√(10) = √(7) / 3√(2*5) = √(7) / 3√(2)√(5) = √(35) / 15

Таким образом, q = √(35) / 15, а b = 8 / (√(35) / 15)² = 8 * 15² / 35 = 8 * 225 / 35 = 576 / 35

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна: S = b / (1 - q) = (576 / 35) / (1 - √(35) / 15) = (576 / 35) / (1 - √(35) / 15) = (576 / 35) * (15 / 15 - √(35) / 15) = (8640 / 35 - 15√(35) / 35) = (246 - 3√(35)) / 1

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна (246 - 3√(35))/1.