Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, 5 b5 = 3 целые 5/9

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом \(b\) и знаменателем \(q\) сумма рассчитывается по формуле:

\[ S = \frac{b}{1-q} \]

Нам дано, что \( b_3 = 8 \) и \( 5b_5 = \frac{34}{9} \).

Используем формулу для вычисления членов прогрессии:

\[ b_3 = b \cdot q^{3-1} = b \cdot q^2 = 8 \]

\[ b_5 = b \cdot q^{5-1} = b \cdot q^4 = \frac{34}{9} \]

Теперь нам нужно составить систему уравнений из данных уравнений:

\[ b \cdot q^2 = 8 \quad (1) \]

\[ b \cdot q^4 = \frac{34}{9} \quad (2) \]

Разделим уравнения, чтобы исключить \(b\):

\[ \frac{b \cdot q^4}{b \cdot q^2} = \frac{\frac{34}{9}}{8} \]

\[ q^2 = \frac{34}{72} \]

\[ q^2 = \frac{17}{36} \]

\[ q = \sqrt{\frac{17}{36}} = \frac{\sqrt{17}}{6} \]

Теперь найдем значение \(b\):

\[ b \cdot (\frac{\sqrt{17}}{6})^2 = 8 \]

\[ b \cdot \frac{17}{36} = 8 \]

\[ b = \frac{8 \cdot 36}{17} \]

\[ b = \frac{288}{17} \]

И, наконец, найдем сумму прогрессии:

\[ S = \frac{\frac{288}{17}}{1 - \frac{\sqrt{17}}{6}} = \frac{\frac{288}{17}}{1 - \frac{\sqrt{17}}{6}} = \frac{288}{17 - \sqrt{17} \cdot \frac{6}{6}} = \frac{288}{17 - \sqrt{17}} \]

\[ S = \frac{288(17 + \sqrt{17})}{17^2 - 17} = \frac{288(17 + \sqrt{17})}{272} = 17 + \sqrt{17} \]

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \(17 + \sqrt{17}\).