Найди сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b3 = 8, b5 = 3 ,9/5

Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии с общим знаменателем \( q \) и первым членом \( a \), общий член задается формулой:

\[ b_n = a \cdot q^{n-1} \]

Так как даны значения третьего и пятого членов, то мы можем составить систему уравнений:

\[ b_3 = a \cdot q^{3-1} = 8 \] \[ b_5 = a \cdot q^{5-1} = 3 \frac{9}{5} \]

Решая данную систему уравнений, найдем значения \( a \) и \( q \):

\[ a \cdot q^2 = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{q^2} \] \[ \frac{8}{q^2} \cdot q^4 = 3 \frac{9}{5} \Rightarrow 8q^2 = 3 \frac{9}{5} \Rightarrow 8q^2 = \frac{24}{5} \]

\[ q^2 = \frac{3}{5} \Rightarrow q = \pm\sqrt{\frac{3}{5}} \]

Так как геометрическая прогрессия убывающая, то нужно выбрать отрицательный корень, то есть \( q = -\sqrt{\frac{3}{5}} \).

Теперь найдем первый член \( a \): \[ a = \frac{8}{\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^2} = \frac{8}{\frac{3}{5}} = \frac{40}{3} \]

Таким образом, первый член прогрессии равен \( \frac{40}{3} \), а знаменатель \( q = -\sqrt{\frac{3}{5}} \).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a}{1 - q} \]

Подставим значения \( a \) и \( q \) в формулу и вычислим сумму \( S \):

\[ S = \frac{\frac{40}{3}}{1 - \left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)} = \frac{\frac{40}{3}}{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}} = \frac{\frac{40}{3}}{1 + \sqrt{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}}{1 - \sqrt{\frac{3}{5}}} = \frac{40(1 - \sqrt{\frac{3}{5}})}{3(1 - \frac{3}{5})} = \frac{40 - 40\sqrt{\frac{3}{5}}}{3 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{200 - 200\sqrt{\frac{3}{5}}}{6} = \frac{100 - 100\sqrt{15}}{3} \]

Таким образом, сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна \( \frac{100 - 100\sqrt{15}}{3} \).