Конечно, давай разберем каждое предложение по порядку.
"(В)низ чемодана бабушка положила книги." Здесь у слова "низ" нет пояснительного слова, оно выступает наречием. Поэтому слово "низ" пишется слитно: вниз.
"Мы зашли (в)даль леса." В этом предложении слово "даль" выступает наречием, так как нет пояснительного слова. Следовательно, его нужно написать слитно: вдаль.
"Музыка играла (с)начала) тихо, а потом стала звучать громче." Здесь слово "сначала" имеет пояснительное слово "тихо", поэтому это сочетание предлога "с" и существительного "начала". Они пишутся раздельно.
"Она быстро взошла (на)верх." В данном случае слово "верх" не имеет пояснительного слова и является наречием, поэтому его нужно написать слитно: наверх.
Надеюсь, теперь понятно, как определять, являются ли выделенные слова наречиями или сочетаниями предлога с существительным. Если у тебя возникнут еще вопросы, буду рад помочь!