Очень хорошо, давайте разберем каждое предложение:
(В)низ чемодана - здесь слово "вниз" является наречием, так как отвечает на вопрос "куда?", возникает такая ситуация, что нет пояснительных слов. Следовательно, все слова пишутся слитно.
Мы зашли (в)даль леса - В данном случае "вдаль" также является наречием, так как отвечает на вопрос "куда?", и в предложении нет пояснительных слов. Следовательно, написание слитно.
Музыка играла (с)начала - Здесь слово "сначала" - наречие, так как указывает на время (когда?). Однако, в предложении есть пояснительное слово "тихо", которое указывает на то, что "начала" является существительным. Следовательно, слова пишутся раздельно - "с начала тихо".
Она быстро взошла (на)верх - Здесь слово "на верх" является сочетанием предлога и существительного. Поскольку есть пояснительное слово "верх" (чего?), то все слова пишутся раздельно - "на верх".
Надеюсь, это объяснение поможет вам понять различия между наречием и сочетанием предлога с существительным. Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать дополнительные вопросы.
