2. Концы отрезка, длина которого равна 13 см, принадлежат двум взаимно перпендикулярным плоскостям, а расстояния от концов отрезка до линии пересечения плоскостей равны 8 см и 5…

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться свойствами пересекающихся плоскостей и перпендикуляров.

Пусть AB – данный отрезок длиной 13 см. Точка C – точка пересечения перпендикуляров, проведенных из концов отрезка до линии пересечения плоскостей.

Из условия задачи известно, что расстояния от точек C до концов отрезка AB равны 8 см и 5 см.

Давайте обозначим AC как "h", BC как "k", иначе говоря приложим теорему Пифагора.

\[ h^2 + k^2 = 13^2 \] (1)

Также мы имеем два уравнения плоскости: AC и BC перпендикулярны плоскостям. Чтобы найти ширину и длину оснований перпендикуляра, нарисуем треугольник ABC.

Используем подобные треугольники. Пусть ACB – прямой угол, а AC и BC равным h и k соответственно.

Из треугольника ABC следует, что

\[ \frac{5}{h} = \frac{8}{k} \]

\[ 5k = 8h \]

\[ k = \frac{8}{5}h \] (2)

Теперь, подставим значение k из уравнения (2) в уравнение (1):

\[ h^2 + (\frac{8}{5}h)^2 = 169 \]

\[ h^2 + (\frac{64}{25})h^2 = 169 \]

\[ \frac{25}{25}h^2 + \frac{64}{25}h^2 = 169 \]

\[ \frac{89}{25}h^2 = 169 \]

\[ h^2 = \frac{25}{89} \times 169 \]

\[ h = 5 \times \sqrt{\frac{169}{89}} \]

\[ h = 5 \times \sqrt{\frac{169}{89}} = \frac{845}{89} \]

Таким образом, длина оснований перпендикуляров, проведенных из концов отрезка до линии пересечения плоскостей, равна \(\frac{845}{89}\) см.