В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскость основания угол 45°. Сторона основания пирамиды равна 6 см. Найдите объепирамиды

Для начала найдем высоту четырехугольной пирамиды, используя теорему косинусов.

Обозначим боковое ребро как a, а радиус описанной окружности основания пирамиды как R.

Тогда, по теореме косинусов:

\[a^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos 45°\]

\[a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \cos 45°\]

Так как синус и косинус 45° равны \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), получаем:

\[a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2R^2 - R^2 \sqrt{2}\]

Также, из условия, \(a^2 = 6^2 = 36\)

Теперь найдем площадь основания через R:

\[6^2 = 2R^2 - R^2 \sqrt{2}\] \[36 = 2R^2 - R^2 \sqrt{2}\] \[36 = R^2 (2 - \sqrt{2})\]

\[R = \frac{6}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}\]

Теперь, найдем высоту пирамиды как проекцию на основание:

\[h = R \cdot \sin 45° = R \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{2 - \sqrt{2}}\]

Наконец, найдем объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \frac{6}{2 - \sqrt{2}}\]

\[V = \frac{72}{2 - \sqrt{2}} \approx 107,65 \, см^3\]

Объем пирамиды составляет примерно 107,65 кубических сантиметров.