Дослідіть функцію на зростання: у = х² 1+x
Конечно, давайте разберемся с этой задачей. Для того чтобы исследовать функцию на возрастание, нужно выяснить ее производную и анализировать знак этой производной в различных интервалах.
Итак, данная функция у = x²(1+x). Давайте найдем производную этой функции. Для этого применим правило производной произведения функций:
(х²)' = 2x (1+x)' = 1
Теперь найдем производную функции у:
y' = (x²)' * (1+x) + x² * (1+x)' y' = 2x * (1+x) + x² * 1 y' = 2x + 2x² + x² y' = 3x + 2x²
Теперь давайте проанализируем знак производной функции в различных интервалах. Если y' > 0, то функция возрастает на этом интервале, если y' < 0, то функция убывает.
Когда x < 0: Подставляем x < 0 в выражение y = 3x + 2x²: y' = 3x + 2x² Так как при x < 0, оба слагаемых положительны, значит, функция возрастает на данном интервале.
Когда 0 < x < 1: Подставляем 0 < x < 1 в выражение y = 3x + 2x²: y' = 3x + 2x² Здесь первое слагаемое положительно, но второе слагаемое (2x²) отрицательно, поэтому функция убывает на этом интервале.
Когда x > 1: Подставляем x > 1 в выражение y = 3x + 2x²: y' = 3x + 2x² Оба слагаемых положительны, следовательно, функция возрастает на данном интервале.
Таким образом, функция у = x²(1+x) возрастает на интервалах x < 0 и x > 1, а убывает на интервале 0 < x < 1. Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.
